minimum, maksimum, rozstęp – i o pogodzie słów kilka

Wiadomości z dnia 31.12.2012. Może trochę przeterminowane, ale idealnie obrazują to, o czym dzisiaj chciałabym Wam napisać:

Roczna amplituda temperatury w stolicy wyniosła 58 stopni. Najniższą temperaturę odnotowano nad ranem 3 lutego, kiedy było minus 23,1 stopnia. Najcieplej z kolei było 1 lipca i 6 sierpnia, kiedy zmierzono 34,6 stopnia.

Wiemy już co to mediana. Zaprezentowałam Wam kwantyle i rozstęp międzykwantylny. Dzisiaj naturalna kontynuacja tematu, czyli wartość minimalna, wartość maksymalna oraz rozstęp.

mapa myśli: rozstęp

mapa myśli: rozstęp

Aby obliczyć medianę albo kwantyle, trzeba było uporządkować sobie wszystkie elementy w naszej populacji od najmniejszego do największego. I właśnie dzisiaj będą nas interesować te dwa elementy: najmniejszy (czyli wartość minimalna) oraz największy (czyli wartość maksymalna). Liczyć ich szczególnie nie potrzeba. Jak już mamy wszystkie obserwacje uporządkowane w szeregu, to od razu wiadomo, która jest najmniejsza, a która największa.

Jeśli od wartości maksymalnej odejmiemy wartość minimalną, to otrzymamy tzw. rozstęp.

\(R=X_{max}-X_{min}\)

Rozstęp, to inaczej obszar zmienności. Do wyliczenia jego wartości potrzebujemy tylko dwie liczby: wartość najmniejszej i największej obserwacji w populacji. Jest to najprostsza miara zróżnicowania rozkładu (inaczej: zmienności, dyspersji, rozrzutu, rozproszenia lub rozsiewu), ale równocześnie najbardziej narażona na wpływ obserwacji odstających (skrajnych). Dlaczego narażona? Bo nietypowe wartości to zwykle właśnie minimum albo maksimum i przy obliczaniu rozstępu (który zależy tylko od tych dwóch wartości), nie da się uniknąć ich wpływu. Rozstępu używamy najczęściej w niewielkich populacjach, zawiera on wszystkie zaobserwowane dane. Jest wartością mianowaną, czyli posiada taką samą jednostkę jak obserwowana cecha statystyczna. Jeśli badamy wzrost, to rozstęp będzie wyrażony w metrach lub centymetrach. Jeśli badamy wagę, to rozstęp będzie wyrażony w kilogramach. Jeśli badamy wynagrodzenie pracowników, to rozstęp będzie wyrażony w złotówkach.

Przykład pogodowy

OK, wiemy już co to jest ten rozstęp, skąd wziąć wartość minimalną i maksymalną – wróćmy więc do przykładu pogodowego:

Roczna amplituda temperatury w stolicy wyniosła 58 stopni. Najniższą temperaturę odnotowano nad ranem 3 lutego, kiedy było minus 23,1 stopnia. Najcieplej z kolei było 1 lipca i 6 sierpnia, kiedy zmierzono 34,6 stopnia.

Wymienione tutaj wartości to właśnie te, które nas dzisiaj interesują. Najniższa temperatura odnotowana w 2012 roku nad ranem 3 lutego, to właśnie wartość minimalna. Najcieplej było wtedy, kiedy mogliśmy zaobserwować temperaturę maksymalną. A czym jest wymieniona amplituda? Omawianym przed chwilą rozstępem. Jeśli od 34,6 odejmiemy -23,1 to otrzymamy wynik 57,7 stopnia (w podsumowaniu pogody w 2012 roku podane jest zaokrąglone 58 stopni).

Inne przykłady

Gdzie jeszcze używamy rozstępu albo mówimy o wartościach minimalnych i maksymalnych? Może napiszę kilka zdań, które możemy usłyszeć albo przeczytać każdego dnia. Chciałabym zwrócić uwagę, że w każdym z nich występuje przynajmniej jedno z analizowanych przez nas pojęć:

„Zwykle noszę rozmiar M, ale moja najmniejsza bluzka ma rozmiar S.” (wartość minimalna)

„Minimalne wynagrodzenie, którego kwota ogłoszona została w rozp. RM z dn. 11.09.2014 r. (Dz.U. z 2014 poz. 1220), w 2015 r. osiągnie poziom 1750 zł brutto.” (wartość minimalna)

„Różnica wieku pomiędzy moim najstarszym a najmłodszym dzieckiem wynosi 7,5 roku.” (rozstęp)

„Minimalna stawka wynagrodzenia u nas w firmie wynosi 10 złotych za godzinę.” (wartość minimalna)

„Tomek zjadł dzisiaj siedemnaście cukierków, żadne inne dziecko nie zjadło tak dużo.” (wartość maksymalna)

„Ceny tej książki wahają się od 20 do 25 złotych. Oznacza to różnicę aż 5 zł na sztuce.” (wartość minimalna, wartość maksymalna, rozstęp)

Przykład wynagrodzenia

Wróćmy też do naszego przykładu zarobkowego, który staramy się analizować z różnych stron. Mamy cztery firmy:

  1. „Wszystkim Równo” – zatrudnia 10 pracowników, z których każdy dostaje co miesiąc 5000 zł.
  2. „Szefo Górą” – zatrudnia panią sprzątaczkę, która na umowę zlecenie otrzymuje 500 zł, do tego 8 szeregowych pracowników z pensją 1500 zł i kierownika, który co miesiąc na konto przyjmuje 37500 zł.
  3. „Byle do Awansu” – mamy tu również 10 pracowników – pięciu pracuje poniżej roku i otrzymują 3000 zł, druga piątka ma już dłuższy staż i dzięki temu doczekała się pensji po 7000 zł.
  4. „Wielka Niewiadoma” – dziesięciu pracowników, każdy z inną pensją, od 1000 do 9000 zł.

Znamy już średnią, medianę, kwartyle i rozstęp kwartylny. Dzisiaj pora obliczyć wartość minimalną, wartość maksymalną oraz rozstęp wynagrodzeń w poszczególnych firmach.

W firmie „Wszystkim równo” wartość minimalna i maksymalna wynagrodzenia wynoszą 5000 zł. Rozstęp to różnica między nimi: 5000 zł minus 5000 zł daje nam wartość 0 zł. Zróżnicowanie zarobków w tej firmie jest zerowe.

W firmie „Szefo Górą” wartość minimalna to wynagrodzenie sprzątaczki, czyli 500 zł. Wartość maksymalna to wynagrodzenie szefa, które wynosi 37500 zł. Różnica między nimi to 37000 zł. Rozstęp pokazuje więc na duże zróżnicowanie wynagrodzenia w tej firmie. Przypomnijmy, że obliczając kwartyle i rozstęp kwartylny, wynik był zupełnie inny. Rozstęp kwartylny wynosił 0 zł i wskazywał, że różnice w wynagrodzeniu nie są zbyt duże. Skąd ta różnica w wartości jednego i drugiego wskaźnika? Wynika ona z wartości odstających (jak wspomniałam powyżej, mają one bardzo duży wpływ na wartość rozstępu). Przede wszystkim wynagrodzenie szefa firmy znacznie różni się od wynagrodzeń wszystkich pozostałych pracowników. Rozstęp kwartylny w ogóle nie bierze tej wartości pod uwagę (wpływ wartości odstających na ten wskaźnik jest niewielki), natomiast zwykły rozstęp skupia się właśnie na tej maksymalnej i minimalnej wartości.

Dla pracowników firmy „Byle do Awansu” wartość minimalna wynagrodzenia to 3000 zł, natomiast wartość maksymalna wynagrodzenia wynosi 7000 zł. Różnica między nimi to 4000 zł i tyle wynosi właśnie rozstęp.

Pracownicy firmy „Wielka Niewiadoma” zarabiają od 1000 zł (wartość minimalna) do 9000 zł (wartość maksymalna). Różnica między najwyższą a najniższą wartością zarobków to 8000 zł.

Powyższe przykłady pokazują, że nawet tak proste wskaźniki jak wartość minimalna, wartość maksymalna i rozstęp, potrafią wskazać nam różnice pomiędzy poszczególnymi firmami (w tym przypadku różnice dużo bardziej znaczące niż kiedy omawialiśmy rozstęp kwartylny). Przypominam, że kiedy obliczaliśmy średnią arytmetyczną wynagrodzeń (podstawowy wskaźnik przedstawiany przez większość analityków), to we wszystkich firmach wynosiła ona 5000 zł. Gdybyśmy poprzestali na tej jednej informacji, niewiele byśmy wiedzieli o rzeczywistym poziomie zarobków.

Please follow and like us: